在我在开始学习到正态分布时,我便意识到很多问题。比如对于随机变量x在区间(μ+3σ,μ+3σ)的概率取值,0.9974到底为估算值还是确定值?为什么刚好估计到第四位?又是怎么得来的?

这个问题到现在来看显得很荒谬。但对于正态分布随机变量x与期望μ和标准差的关系,初学者一开始便只是了解,而去思考其对应的实际意义很难。这里我便简述一下自己的初步了解和思考,带领大家渐渐揭开正态分布的神秘面纱。

一开始接触到这个问题时,我去查阅了百度未果,也许是因为我理解的太过浅显,也有可能是百度给出的条目不够深入。但在维基百科上,我找到了答案。3σ定律也常被包含在为68–95–99.7原则内,,这里的68,95,97分别对应在正态分布中,距平均值小于一个标准差、二个标准差、三个标准差以内的百分比,当然是有更为精确的取值,不过这三条的使用频率更高,更方便,利于解决一些问题。这里给定维基百科上标注的较为精确的取值:

图源:https://zh.wikipedia.org/wiki/68%E2%80%9395%E2%80%9399.7%E5%8E%9F%E5%89%87

抛开复杂的积分运算不谈,我们在这里只注重对于其理解和对实际问题的解决。

或许你可能被这一系列复杂的概念吓倒而不想读这篇文章。但回到开始的问题,哪怕我们能够自诩对正态分布有一定的了解,但哪怕在最为基本的问题上也是一片茫然,这是因为我们出发的方向不对,如果你只在数学课本上了解到它,转而突然看到这样令人头疼的函数解析式,从而没有真正认识到它的美丽。如果有机会的话,我想你一定愿意更深入的了解它!

我们在了解正态分布时经常用到掷骰子这一神器,并通过对情况的分析渐渐得到其图线。【图源@知乎继舜】

投三十次近似得到图像
逐渐增加样本数量
在样本数量充足时

实际上了解它dark不必单单于数学勾连。它的美丽之处便是每每与数学关联时又能独立存在。正态分布随处可见。比如人的身高,在极大值和极小值中人总是很少,而在中间值处就有很多的分布,就好像大多数人不愿太高也不愿过矮,单单喜欢不高不矮的身高。还有抛硬币时,扔一百次得到一百次正面的情况或者一百次反面的情况的确有,但却很少很少,最多见的便是正面反面都差不多五十次。不管身高体重或是手臂长短,肺活量,甚至这样的

这个真的和正态分布有关

对于这种数据老喜欢往中间站的情况,我们就叫他正态分布。

鲁迅先生说过;“中国人的性情是总喜欢调和,折中的。譬如你说,这屋子太暗,须在这里开一个窗,大家一定不允许的。但如果你主张拆掉屋顶,他们就会来调和,愿意开窗了。”-《拆屋效应》

这句话鲁迅先生确实说过,但和正态分布没啥关系哈。正态分布常常见于统计学,经济学等。它还有一条奇妙性质,当物体同时受到多个独立因素影响时,服从正态分布。也就是说,身高会受到遗传,营养,锻炼等因素的影响,其服从正态分布也就显而易见了。

如果你已经相信自己有了一个初步的理解,不妨再深入一些,真正搞懂正态分布,还需要一个前提,那就是【中心极限定理】:如果误差可以看做许多微小量的叠加,则根据中心极限定理,随机误差理所应当是正态分布。妙在正态分布与数学间神秘的机缘巧合,我们在很多时候可以借助数学工具来分析正态分布。得到其函数解析式,你可以先去查阅资料看看它是怎么得到的,等我深入了解后一定会出文章给大家科普,用毕导口中的小学二年级知识为大家阐明原因。

以下的就是涉及高考的内容了,可能是很基础的内容,希望对大家有所帮助。【详见高中数学标准实验教科书选修2-3.】

我们这样表示正态分布:随机变量x服从期望值为μ,标准差为σ的正态分布N(下面的σ的平方指方差)

高中范围只考究对于正态分布的理解,图像性质以及3σ准则的灵活运用,越过函数解析式不谈,我们可以直接从函数图像进行分析。

正态分布图像的特征如下:

1.具有左右对称性,中间高,两边矮。此性质与正态分布的期望值和方差有关,期望值对应图像对称轴,增大期望曲线向右移动。而方差显示了图像的离散程度,当方差越小,离散程度越高对应的图像就越离散,越矮;反之,当方差越大时,离散程度越小,对应的图像越集中,就越高。

图源https://zh.wikipedia.org/wiki/File:Normal_Distribution_PDF.svg

2.曲线两头可无限延伸,且与x轴无线接近但不重合。(这条好像没啥用)

3.3σ定理:图像的整体面积为1,而在(μ+3σ,μ+3σ)区间内分布状态极高,占0.997300203936740%,约0.9974(记住这个数字)。所以对于随机变量x来说,其实际可能的取值区间为(μ+3σ,μ+3σ)。(这个会有很大用处)

对于正态分布的高考内容暂且说这么多。实际上对正态分布的内容远远不止如此,其实际应用也可能超乎你的想像。但人类对这一学科的探索从未停止脚步,对科学的好奇心一直都是人类进步的最大动力,也希望你能在看完这篇文章后有所启发。如果你有什么想法请联系博主,不好的地方欢迎指正!

最后来道题练练手吧!

某次数学测试有9450名学生参加,他们的成绩服从正态分布N(98,100),某学生此次成绩为108分,他在全市占多少名?已知:

答案会在下期公布哦!

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